a)
Đường thẳng Δ’ đi qua M(1;-2) và vuông góc với đường thẳng Δ: 3x – 4y + 1 =0
Do Δ’ vuông góc Δ nên Δ’ có dạng: bx – ay + m=0
<=>  -4x – 3y +m=0                                  
Mà điểm M(1;-2) thuộc  Δ’ nên ta có:
<=> -4.1 – 3.(-2) + m=0
<=> -4 + 6 +m=0
<=> m=-2
Vậy pt đt Δ’ là: 4x + 3y +2=0

b)
Gọi n(a;b) (đk:a ^2+b^2 khác 0)là VTPT của đường thẳng (d) cần tìm.
Gọi Δ là đường thẳng: 3x – 4y +1=0 thì Δ có một VTPT là n pháp tuyến =(3;-4).
Theo gt: cos(d; Δ)=cos45°
<=> (|nd.nΔ|) / (|nd |.|n Δ |) = √2/2
<=> |3a-4b| / (√(a² +b²).√(3² +(-4) ²)) = √2/2
<=> |3a-4b| / 5√(a²+b²) =√2/2
<=> 2(3a-4b)=5√2. √(a² +b²)
<=> 4.(9a² - 24ab +16b²)= 50. (a² +b²)
<=> 36a² - 96ab + 64b² - 50a² - 50b²=0
<=> -14a² - 96ab +14b²=0
Vì b khác 0
<=> -14.(a/b) ² - 96.(a/b) +14=0
<=> a/b=1/7  hoặc a/b=-7
TH1: Nếu a/b=1/7 chọn a=1 ; b=7
Khi nd(1;7) mà d đi qua E(5;-2) nên pt d là:
(x-5) + 7(y+2)=0
<=> x +7y +19=0 (1)
TH2: Nếu a/b=-7 chọn a=-7 ; b=1
Khi nd(-7;1) mà d đi qua E(5;-2) nên pt d là:
-7(x-5) + (y+2)=0
<=> 7x – y -37=0 (2)
Vậy có 2 pt cần tìm là (1) và (2).

Tìm tọa độ M trên (d) 4x+y-2=0 sao cho khoảnh cách tùe M đến (Δ) 3x-4y-1=0 bằng 5