Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x - x³ ;     b) y = x³ + 4x² + 4x

c) y = x³ + x² + 9x ;     d) y = -2x³ + 5

Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 3 - 3x²

y' = 0 => x = ±1

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 1 ).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: ( 1; 0).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 4).

- Đồ thị:

Ta có x³ + 4x² + 4x = 0 ⇒ x(x² + 4x + 4) = 0

⇒ x(x + 2)² = 0 => x = 0; x = -2

    + Giao với Ox: (0; 0) và (-2; 0)

    + Giao với Oy: (0; 0) (vì y(0) = 0)

(Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng.)

b)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 3x² + 8x + 4

y' = 0 => x = -2 hoặc x = -2/3

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (-2; 0).

- Đồ thị:

Ta có 2 + 3x - x³ = 0 ⇒ x = -1 ; x = 2

    + Giao với Ox: (-1; 0) và (2; 0)

    + Giao với Oy: (0; 2) (vì y(0) = 2)

c)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 3x² + 2x + 9 > 0 ∀ x ∈ R

=> Hàm số luôn đồng biến trên R và không có điểm cực trị.

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

d)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = -6x² ≤ 0 ∀ x ∈ R

=> Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có điểm cực trị.

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

- Đồ thị: