Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) y = -x⁴ + 8x² - 1 ;     b) y = x⁴ - 2x² + 2

Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = -4x³ + 16x = -4x(x² - 4)

y' = 0 ⇔ -4x(x² - 4) = 0 => x = 0 ; x = ±2

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) và (2; 15).

- Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)⁴ + 8(-x)² - 1 = -x⁴ + 8x² - 1 = y(x)

Do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta có: -x⁴ + 8x² - 1 = 0 => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 - √15)

    + Giao với Ox: tại 4 điểm

    + Giao với Oy: (0; -1) (vì y(0) = -1)

b)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

y' = 0 ⇔ 4x(x² - 1) = 0 => x = 0 ; x = ±1

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2).

- Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

c)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 2x³ + 2x = 2x(x² + 1)

y' = 0 ⇔ 2x(x² + 1) = 0 => x = 0

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).

- Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

d)

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = -4x - 4x³ = -4x(1 + x²)

y' = 0 ⇔ -4x(1 + x²) = 0 => x = 0

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

- Đồ thị:

Xác định tương tự như a) ta có đồ thị: