Ta có hai tam giác vuông ABH và AHD:

• ABH có cạnh góc vuông BH và cạnh huyền AB.
• AHD có cạnh góc vuông HD và cạnh huyền AD.

Do đó, ta có:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$AD^2 = AH^2 + HD^2$

Mà $AB = 4cm$ và $BC = 3cm$, nên $AD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5cm$.

Để tính $BD$, ta lưu ý rằng tam giác BHD cũng là tam giác vuông, nên:

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

$= AB^2 - AH^2 + AD^2 - AH^2$

$= 4^2 - AH^2 + 5^2 - AH^2$

$= 41 - 2AH^2$

Vì $H = BD$, nên $BD = \sqrt{41 - 2AH^2}$.

Để tính diện tích tam giác ABH, ta có công thức:

$S_{ABH} = \frac{1}{2}AB \times BH$

Mà $AB = 4cm$ và $BH = AH$, nên $S_{ABH} = 2AH$.

Để tính $AH$, ta quan sát tam giác vuông AHD và áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

$AH^2 = AD^2 - HD^2 = 5^2 - 3^2 = 16$

Vậy, $AH = 4$ và $S_{ABH} = 8cm^2$.

Tóm lại, $BD = \sqrt{41 - 2AH^2} = \sqrt{41 - 2 \times 4^2} = \sqrt{9} = 3$, và $S_{ABH} = 8cm^2$.