a) Để phương trình (1) có nghiệm, ta cần xác định điều kiện cho m sao cho hệ số của x trong phương trình là khác 0. Ta có:

x' + (2m+I)x + m^2 + 3m = 0

Hệ số của x là 2m + 1. Để hệ số này khác 0, ta cần giải phương trình:

2m + 1 ≠ 0

2m ≠ -1

m ≠ -1/2

Vậy, điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là m khác -1/2.

b) Giả sử phương trình (1) có nghiệm và gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x₁ + x₂.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của Q, ta xét đạo hàm của Q theo x₁ và x₂:

∂Q/∂x₁ = 1

∂Q/∂x₂ = 1

Điều này có nghĩa là Q sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi cả x₁ và x₂ đều nhận giá trị nhỏ nhất có thể. Vì phương trình (1) là phương trình bậc hai, nên nó có thể có ít nhất một nghiệm khi thỏa mãn điều kiện m khác -1/2 (theo phần a).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q là khi x₁ = x₂ = giá trị nhỏ nhất của nghiệm phương trình (1).