Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P, ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất và phân tích biểu thức.

Trước tiên, ta quan sát thấy rằng a, b, c là các số dương, nên a^2 ≥ a, b^2 ≥ b và c^2 ≥ c. Từ đó suy ra:

a^2 + b^2 + c^2 ≥ a + b + c

abc = a^2 + b^2 + c^2 ≥ a + b + c

Suy ra: abc ≥ (a + b + c)^2 / 4

Do đó:

bc ≤ (abc - a^2) / 2

Vậy: b/c + c/b = (b^2 + c^2) / bc ≤ 2a / 3

Tương tự:

c/a + a/c ≤ 2b / 3

a/b + b/a ≤ 2c / 3

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

P = a/a^2+bc + b/b^2+ca + c^2/c^2+ab ≤ a/2V{a.bc} + b/2V{b.ca} + c/2V{c.ab}

Ta sử dụng điều kiện a^2 + b^2 + c^2 = abc để viết lại biểu thức P:

P = √(a^3/(a^2.bc)+b^3/(b^2.ca)+c^3/(c^2.ab)) ≤ √(a+b+c)/2

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức P là √(a+b+c)/2.

Kết hợp với điều kiện a^2 + b^2 + c^2 = abc, ta có:

Pmax = √(a+b+c)/2 ≤ √(3abc)/2 = 3√3 / 2.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3√3 / 2.