Để chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta sẽ giải phương trình của đường thẳng và parabol để xem liệu có tồn tại hai điểm cắt hay không.

Phương trình của parabol (P) là: y = x^2
Phương trình của đường thẳng (d) là: y = 2mx + 1

Để xác định điểm cắt giữa đường thẳng và parabol, ta giải hệ phương trình:

x^2 = 2mx + 1

Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc sử dụng đồ thị để xác định điểm cắt.

Nếu ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x^2 - 2mx - 1 = 0

Đây là một phương trình bậc hai thông thường. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x = [2m ± √(4m^2 + 4)] / 2
x = m ± √(m^2 + 1)

Vậy ta có hai giá trị x phân biệt là x1 = m + √(m^2 + 1) và x2 = m - √(m^2 + 1).

Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt (x1, y1) và (x2, y2) với x1 = m + √(m^2 + 1) và x2 = m - √(m^2 + 1).