a) Để chứng minh CIOK nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh góc COI = góc CKI.
Vì I là trung điểm OA, ta có IO = IA (do I là trung điểm), và vì K là trung điểm của BC, ta có IK = KC.
Vì CE vuông góc với AB, nên góc CEA = góc CEB = 90 độ.
Do đó, góc COI = góc CEI (góc giữa tiếp tuyến và phân giác của cùng một góc ở cùng một tiếp điểm) = góc CEK + góc KEI (định lý tổng góc trong tam giác) = góc CEB + góc KEI = 90 độ + góc KEI.
Tương tự, góc CKI = 90 độ + góc KEI.
Vậy, góc COI = góc CKI, suy ra CIOK nội tiếp đường tròn.

b) Để chứng minh IC.ID = IA.IB, ta sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.
Ta có:
Tam giác ICA và tam giác IBK là đồng dạng (do có hai góc vuông chung và góc ACI = góc BIK = 90 độ).
Do đó, IC/IA = IB/IK.
Tương đương với IC = IA.(IB/IK).
Vì I là trung điểm OA, ta có IK = KC, vậy IC = IA.(IB/KC).
Tương tự, ta có ID = IA.(IB/KB).
Do đó, IC.ID = IA.(IB/KC) * IA.(IB/KB) = IA.IA = IA^2 = IA.IB.

c) Để chứng minh ba điểm DOK thẳng hàng, ta cần chứng minh góc KDO = 180 độ - góc KOD.
Vì K là trung điểm của BC, ta có DK = KC.
Do đó, góc KDO = góc KDC (hai góc ở trên cùng cạnh bằng nhau) = góc KCB (cùng chắn cùng tia tiếp tuyến) = góc KOD (góc nội tiếp chắn cùng cung).
Vậy, ba điểm DOK thẳng hàng.