Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng Bình luôn có thể giữ cho số lượng viên sỏi của mỗi đống sau mỗi lượt chơi là bằng nhau hoặc chỉ chênh lệch 1.

Giả sử sau một lượt chơi, số lượng viên sỏi của ba đống là a, b và c (a≥b≥c). Bình sẽ chọn đống có số lượng viên sỏi lớn nhất (a) và chia thành hai đống có số lượng viên sỏi bằng nhau hoặc chỉ chênh lệch 1. Nếu a chia thành hai đống có số lượng viên sỏi bằng nhau, thì số lượng viên sỏi của hai đống còn lại (b và c) sẽ giữ nguyên hoặc chỉ chênh lệch 1. Nếu a chia thành ba đống, thì số lượng viên sỏi của hai đống còn lại sẽ giữ nguyên hoặc chỉ chênh lệch 1, và số lượng viên sỏi của ba đống mới cũng sẽ giữ nguyên hoặc chỉ chênh lệch 1.

Như vậy, sau mỗi lượt chơi, Bình luôn có thể giữ cho số lượng viên sỏi của mỗi đống là bằng nhau hoặc chỉ chênh lệch 1. Vì vậy, nếu An không thể thực hiện được như vậy, tức là số lượng viên sỏi của ba đống không bằng nhau hoặc chỉ chênh lệch quá 1, thì Bình sẽ thắng. Vì Bình chơi sau An, nên nếu An có thể giữ cho số lượng viên sỏi của ba đống là bằng nhau hoặc chỉ chênh lệch 1, thì Bình cũng có thể làm được điều đó. Vì vậy, Bình luôn có cách để thắng dù cho An chơi thế nào đi chăng nữa.