Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các công thức trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Gọi KN là đường cao của tam giác KMN, KA là đường cao của tam giác KMB.

Vì tam giác KMN vuông tại K, ta có:
KN^2 = KM^2 - MN^2
KN^2 = 12^2 - (12/4)^2
KN^2 = 144 - 9
KN^2 = 135
KN = √135 = 3√15 cm

Vì tam giác KMB vuông tại K, ta có:
KA^2 = KM^2 - AM^2
KA^2 = 12^2 - (12/4)^2
KA^2 = 144 - 9
KA^2 = 135
KA = √135 = 3√15 cm

Vì tam giác KMB và tam giác KNA đồng dạng, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh:
KB/KN = BM/AN
KB/3√15 = 12/AN
KB = (3√15 * 12) / AN

Vì tam giác KMB và tam giác KNA đồng dạng, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh:
KB/KA = BM/AM
KB/3√15 = 12/3
KB = (3√15 * 12) / 3
KB = 4√15 cm

Vậy, KN = 3√15 cm, KA = 3√15 cm, và KB = 4√15 cm.