1. Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Vì H là trung điểm của BC, nên AH cắt BC tại H và AH = 1/2 BC.
Gọi O là trung điểm của AE. Ta cần chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp, tức là góc AED = góc AHD.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc ABC = góc ACB. Mà góc ABC = góc AHB (do AH là đường cao), nên góc ACB = góc AHB.
Do đó, tứ giác AEHB nội tiếp trong một đường tròn.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có AI song song với HD (do AHD là tam giác đều), nên góc AED = góc AHD.
Vậy tứ giác AEHD nội tiếp.

2. Ta có AD = 2/3 AC.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC và AH = 1/2 BC = a.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHD, ta có:
AD^2 = AH^2 + HD^2
(2/3 AC)^2 = a^2 + HD^2
4/9 AC^2 = a^2 + HD^2
4/9 (3a^2)^2 = a^2 + HD^2
4/9 (9a^4) = a^2 + HD^2
4a^4 = 9a^2 + 9 HD^2
HD^2 = (4a^4 - 9a^2)/9
HD = sqrt((4a^4 - 9a^2)/9)
Vậy độ dài AD là sqrt((4a^4 - 9a^2)/9).

3. Gọi M là trung điểm của HD. Ta cần chứng minh BD vuông góc với AM.
Vì H là trung điểm của BC, nên BH = HC = a.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC và AH = a.
Vì tam giác AHD là tam giác đều, nên HD = a.
Vậy BM = MD = a/2.
Do đó, AM = BM + AD = a/2 + sqrt((4a^4 - 9a^2)/9).
Ta có:
BD^2 = BM^2 + MD^2
BD^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2
BD^2 = a^2/4 + a^2/4
BD^2 = a^2/2
BD = sqrt(a^2/2)
BD = a/sqrt(2)
Vậy BD vuông góc với AM.