A) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AD = BD = CD.

Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD.

Ta có:
- Tam giác ABD cân tại A, nên góc ABD = góc ADB.
- Tam giác ACD cân tại A, nên góc ACD = góc ADC.

Vì AD = CD, nên tam giác ACD và tam giác ABD có cạnh chung AD và góc ACD = góc ABD. Do đó, theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABD = tam giác ACD.

B) Ta đã chứng minh ở câu A rằng AD = BD = CD. Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có D là trung điểm của BC.

C) Gọi N là giao điểm của đường thẳng BE và đường thẳng AD.

Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AD = BD = CD.
- Tam giác ABE và tam giác CDE là tam giác đồng dạng (có cùng một góc và cạnh tương ứng bằng nhau), nên góc AEB = góc CED.

Vì AD = CD, nên tam giác AED và tam giác CED có cạnh chung ED và góc AED = góc CED. Do đó, theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác AED = tam giác CED.

Vì tam giác AED = tam giác CED và tam giác AEB = tam giác CED, nên theo trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác AEB = tam giác AED.

Vậy, ta có AEB = AED = CED = CEB.

Gọi F' là giao điểm của đường thẳng BE và đường thẳng AC.

Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AD = BD = CD.
- Tam giác ABE và tam giác CFE là tam giác đồng dạng (có cùng một góc và cạnh tương ứng bằng nhau), nên góc ABE = góc CFE.

Vì AD = BD, nên tam giác ABD và tam giác AED có cạnh chung AD và góc ABD = góc AED. Do đó, theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABD = tam giác AED.

Vì tam giác ABD = tam giác AED và tam giác ABE = tam giác CFE, nên theo trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác ABE = tam giác CFE.

Vậy, ta có ABE = AED = CED = CFE.

Từ đó, ta có AEB = AED = CED = CEB = CFE = ABE.

Vậy, ta có AEB = CFE.

Vì AEB = CFE, nên theo trường hợp góc - góc - góc, ta có tam giác AEB = tam giác CFE.

Vậy, ta có ba điểm C, M, F thẳng hàng.