a) Ta có:
- Vì Ax vuông góc AB nên AH là đường cao của tam giác AOB.
- Vì MB cắt đường tròn tại N nên theo định lí tiếp tuyến, ta có: MN vuông góc với MB.
- Vì MN là tiếp tuyến nên MN = NB.
- Vì MN vuông góc với MB nên tam giác MNB vuông tại N.
- Vì MN = NB nên tam giác MNB cân tại N.
- Vì MN = NB nên tam giác MNB vuông tại N nên tam giác MNB là tam giác vuông cân.
- Vì MN = NB và MB = 2R nên tam giác MNB là tam giác vuông cân cùng cạnh đáy bằng đường kính AB.
- Vậy ta có: AH = MB = 2R và MN = NB.

b) Ta có:
- Vì I là trung điểm của NH nên IN = IH.
- Vì K là trung điểm của AM nên AK = KM.
- Ta có: AI = AM - IM = AM - (IN + NH) = AM - (IH + NH) = AM - (2IH) = AM - 2IN.
- Vì I là trung điểm của NH nên IN = IH nên ta có: AI = AM - 2IN = AM - 2IH.
- Vì AI = AM - 2IH và AK = KM nên ta có: AI = AK + KI.
- Vậy ta có: K là trung điểm của AM.