Để chứng minh các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các đường chéo của hình thoi là đường trung trực của các cạnh của hình chữ nhật.

Gọi hình thoi là ABCD, với các trung điểm của các cạnh lần lượt là E, F, G, H. Ta cần chứng minh rằng EH và FG là đường trung trực của các cạnh AB và CD.

Ta có:
- Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB.
- Vì F là trung điểm của BC nên BF = FC.
- Vì G là trung điểm của CD nên CG = GD.
- Vì H là trung điểm của DA nên AH = HD.

Ta cần chứng minh rằng EH và FG là đường trung trực của các cạnh AB và CD, tức là AE = EB và CG = GD.

Vì ABCD là hình thoi, nên ta có:
- AB = BC = CD = DA.
- Góc ABC = Góc BCD = Góc CDA = Góc DAB = 90 độ.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Vì M4 L MD, nên góc BMC = góc CMD = 90 độ.

Từ đó, ta có:
- Tam giác ABC và tam giác BCD là tam giác vuông cân.
- Tam giác BME và tam giác CMD là tam giác vuông cân.

Do đó, ta có:
- AE = EB = BM = MC.
- CG = GD = DM = MB.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Bài 2:
Gọi AB = a và BC = b.

Vì ABCD là hình chữ nhật, nên ta có:
- AB = CD = a.
- BC = AD = b.

Vì chu vi của hình chữ nhật ABCD là 36 cm, nên ta có:
2(a + b) = 36
a + b = 18

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC = b/2.

Vì M4 L MD, nên góc BMC = góc CMD = 90 độ.

Từ đó, ta có:
- Tam giác BMC là tam giác vuông cân.
- BM = MC = b/2.

Vậy, ta có:
a + b/2 + b/2 = 18
a + b = 18
a + b = 18
a = 18 - b

Thay a = 18 - b vào AB = a, ta có:
AB = 18 - b

Vậy, độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là:
AB = 18 - b
BC = b
CD = 18 - b
DA = b