a) Ta có tam giác ABD cân tại A nên AD là đường phân giác của góc BAC. Vì vậy, ta có:
$\angle BAI = \angle IAC$
Mà $\angle BAI = \angle IAB$ (vì tam giác AIB cân tại I)
Vậy ta có $\angle IAB = \angle IAC$
Do đó, tam giác IAB đồng dạng với tam giác ICA (theo góc chung)
Vậy $\frac{ID}{IB} = \frac{IA}{IC} = \frac{AB}{AC}$
Nhưng $AD = AB$ nên $\frac{ID}{IB} = \frac{AD}{AC}$
Vậy ta có $ID = IB$

b) Ta có $\angle IAB = \angle IAC$ (vì tam giác IAB đồng dạng với tam giác ICA)
Mà $\angle IAB = \angle IBE$ (vì tam giác IBE cân tại I)
Vậy ta có $\angle IBE = \angle IAC$
Tương tự, ta có $\angle IDC = \angle IAC$
Vậy tam giác IBE đồng dạng với tam giác IDC (theo góc chung)
Vậy ta có tam giác IBE = tam giác IDC

c) Gọi H là trung điểm của EC. Ta cần chứng minh 3 điểm A, H, I thẳng hàng.
Ta có $\angle IAC = \angle IAB$ (vì tam giác IAB đồng dạng với tam giác ICA)
Mà $\angle IAB = \angle IBE$ (vì tam giác IBE cân tại I)
Vậy ta có $\angle IAC = \angle IBE$
Nhưng H là trung điểm của EC nên $\angle IAC = \angle IHE$
Vậy ta có $\angle IHE = \angle IBE$
Do đó, ta có tam giác IHE đồng dạng với tam giác IBE (theo góc chung)
Vậy ta có tam giác IHE = tam giác IBE
Vậy ta có 3 điểm A, H, I thẳng hàng.