a) Để rút gọn M, ta bắt đầu bằng việc tìm chung mẫu số của các phân số trong M. Ta nhận thấy mẫu số chung của các phân số là (x√x + 1).

Tiếp theo, ta nhân tử số và mẫu số của M với (x - √x + 1) / √x để loại bỏ các căn bậc 2 trong tử số. Ta có:

M = [(2x + 3√x) / (x√x + 1) + 1/(x-√x + 1) - 1/(√x + 1)] * (x - √x + 1) / √x

= [(2x + 3√x)(x - √x + 1) + √x(x - √x + 1) - (x√x + 1)] / (x√x + 1)

= [(2x^2 - 2x√x + 2x + 3x√x - 3√x^2 + 3√x + x√x - x + √x - √x^2 + √x - x√x - √x + 1) + (x - √x + 1) - (x√x + 1)] / (x√x + 1)

= (2x^2 + 3x + 1) / (x√x + 1)

Vậy, M = (2x^2 + 3x + 1) / (x√x + 1).

b) Để so sánh M với 1, ta cần tìm điều kiện để M > 1 hoặc M < 1.

Đặt M - 1 > 0, ta có:

(2x^2 + 3x + 1) / (x√x + 1) - 1 > 0

(2x^2 + 3x + 1 - (x√x + 1)) / (x√x + 1) > 0

(2x^2 + 3x - x√x) / (x√x + 1) > 0

(2x^2 + 3x - x√x) > 0

Đặt f(x) = 2x^2 + 3x - x√x, ta cần tìm điều kiện để f(x) > 0.

Để giải phương trình f(x) = 0, ta có:

2x^2 + 3x - x√x = 0

x(2x + 3 - √x) = 0

Với x = 0, ta có f(0) = 0.

Với 2x + 3 - √x = 0, ta có x = 1/4.

Ta có thể vẽ đồ thị của f(x) để xác định điều kiện f(x) > 0. Từ đồ thị, ta thấy f(x) > 0 khi x < 0 hoặc 0 < x < 1/4.

Vậy, M > 1 khi x < 0 hoặc 0 < x < 1/4.

Tương tự, ta có thể xác định điều kiện để M < 1. Từ đồ thị, ta thấy f(x) < 0 khi x > 1/4.

Vậy, M < 1 khi x > 1/4.

c) Để tìm M thuộc R sao cho M là số nguyên, ta cần tìm các giá trị của x sao cho 2x^2 + 3x + 1 chia hết cho x√x + 1.

Ta có thể sử dụng định lý chia hết để giải bài toán này. Tuy nhiên, việc tìm các giá trị của x để M là số nguyên có thể phức tạp và không có một phương pháp chung. Ta có thể thử các giá trị của x và kiểm tra xem kết quả có là số nguyên hay không.