Cho nửa đường tròn Ở đg kính AB, Ax là tiếp tuyến lấy điểm M và I thuộc Ax sao cho M là trung điểm AI, By cắt đg tròn Ở tại điểm C . Chứng minh MC là tiếp tuyến O

Để chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh MC vuông góc với AO.

Gọi O là tâm của đường tròn (O), AM là đường kính của đường tròn (O).

Vì M là trung điểm của AI, ta có AM // BI (do M là trung điểm của AI nên AM cắt BI tại N sao cho AN = NM = MI).

Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAI = góc BCI (góc nội tiếp cùng cung).

Vì AM // BI, nên góc BCI = góc BAI = góc BAC (góc nội tiếp cùng cung).

Vậy ta có góc BCI = góc BAC.

Do đó, tam giác BCI cân tại B.

Vì BC cắt đường tròn (O) tại điểm C, nên góc BCO = góc BAC (góc nội tiếp cùng cung).

Vậy ta có góc BCO = góc BCI.

Vì tam giác BCI cân tại B, nên góc BCI = góc BIC.

Vậy ta có góc BCO = góc BIC.

Do đó, tam giác BCO cân tại B.

Vậy ta có BC = BO.

Vì M là trung điểm của AI, nên góc AMI = góc AIB (góc nội tiếp cùng cung).

Vậy ta có góc AMI = góc AIB.

Vì tam giác BCI cân tại B, nên góc BCI = góc BIC.

Vậy ta có góc AMI = góc BIC.

Do đó, tam giác AMI = tam giác BIC (có 2 góc bằng nhau).

Vậy ta có AM = BC.

Vì MC là đường trung bình của tam giác ABC, nên MC = AM.

Vậy ta có MC = AM = BC.

Vậy ta có MC vuông góc với AO.

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).