a) Ta có trung điểm của một cạnh của hình thoi nằm trên đường chéo còn lại. Vì vậy, ta có E là trung điểm của BC và F là trung điểm của AD. Do đó, tứ giác ABEF là hình thoi.

b) Gọi I là điểm đối xứng của A qua B. Ta có AI = AB và IB = AB (vì I là điểm đối xứng của A qua B). Vì cạnh BC = 2AB, ta có BC = 2IB. Do đó, tứ giác AIEF là hình thang cân (với AI = IB và EF song song với AB).

c) Ta có góc BCD = 90 độ (vì tứ giác BCD là hình chữ nhật). Vì góc a = 60 độ, ta có góc BCA = 180 - 60 - 90 = 30 độ. Vì BC = 2AB, ta có góc BAC = 180 - 30 - 90 = 60 độ. Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta có góc BCD = góc BAC = 60 độ. Vậy tứ giác BICD là hình chữ nhật.

d) Ta có góc AED = góc AEB + góc BED = 90 độ + 60 độ = 150 độ.