C = 1/√1+√5 + 1/√9+√13 +...+ 1/√21+√25

Bài 1:
Để rút gọn biểu thức C, ta sẽ đặt mỗi phân số thành một dạng tổng có cùng mẫu số:
C = (1/√1+√5) + (1/√9+√13) + ... + (1/√21+√25)
= (√5 - √1)/(5 - 1) + (√13 - √9)/(13 - 9) + ... + (√25 - √21)/(25 - 21)
= (√5 - √1)/4 + (√13 - √9)/4 + ... + (√25 - √21)/4
= (√5 + √13 + √21 + √25 - √1 - √9 - √17 - √21)/4
= (√5 + √13 + √21 + √25 - √1 - √9 - √17 - √21)/4
= (√5 + √13 + √25 - √1 - √9 - √17)/4

Bài 2:
a) Để tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B, ta sẽ làm như sau:
B = (x√x + 1)/(x - 1) - (x - 1)/(√x + 1)
= (x√x + 1 - (x - 1)(√x + 1))/(x - 1)(√x + 1)
= (x√x + 1 - x√x - √x + √x + 1)/(x - 1)(√x + 1)
= (2 - √x)/(x - 1)(√x + 1)

Điều kiện xác định: x ≠ 1 và √x + 1 ≠ 0 (vì mẫu số không được bằng 0)
Rút gọn biểu thức B: B = (2 - √x)/(x - 1)(√x + 1)

b) Để tìm x nguyên để B là số nguyên, ta cần xét điều kiện xác định và xét các giá trị của x để B là số nguyên.

Bài 4:
a) Để tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A, ta sẽ làm như sau:
A = (1/√x - 3 - 1/√x + 3)/(12/√x - x - 3)
= ((√x + 3) - (√x - 3))/(12/√x - x - 3)
= (6/√x)/(12/√x - x - 3)
= (6/√x)/(12 - x√x - 3√x)
= (6/√x)/(12 - (x + 3)√x)

Điều kiện xác định: x ≠ 3 và (12 - (x + 3)√x) ≠ 0 (vì mẫu số không được bằng 0)
Rút gọn biểu thức A: A = (6/√x)/(12 - (x + 3)√x)

b) Để tìm x để A > 1/8, ta cần xét điều kiện xác định và xét các giá trị của x để A > 1/8.

c) Để tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất, ta cần xét điều kiện xác định và tìm giá trị lớn nhất của A.