Để chứng minh rằng A chia hết cho 5, ta sẽ sử dụng định lí chia hết của dãy số.

Định lí chia hết của dãy số:
Cho dãy số a, b, c, ..., n. Nếu tổng các số trong dãy này chia hết cho một số k, thì tổng các số trong dãy a^k, b^k, c^k, ..., n^k cũng chia hết cho k.

Áp dụng định lí chia hết của dãy số vào bài toán này, ta có:
A = 11^9 + 11^8 + ... + 11 + 1

Ta nhận thấy rằng A là tổng của các số trong dãy 11^9, 11^8, ..., 11, 1. Vậy nếu A chia hết cho 5, thì tổng các số trong dãy 11^9, 11^8, ..., 11, 1 cũng chia hết cho 5.

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng mỗi số trong dãy 11^9, 11^8, ..., 11, 1 đều chia hết cho 5.

Ta biết rằng 11 chia hết cho 5 (vì 11 = 5 * 2 + 1). Vậy ta có:
11^9 chia hết cho 5 (vì 11^9 = (5 * 2 + 1)^9 = 5 * (2^9) + 1 chia hết cho 5)
11^8 chia hết cho 5 (vì 11^8 = (5 * 2 + 1)^8 = (5 * (2^8) + 1) chia hết cho 5)
...
11 chia hết cho 5
1 chia hết cho 5

Vậy tổng các số trong dãy 11^9, 11^8, ..., 11, 1 chia hết cho 5, từ đó suy ra A chia hết cho 5.