Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC.
- Ta có AM = AB/2 và CM = CD/2.
- Ta có OH = a.
- Ta có OM = AC/2 = (AB + CD)/2.
- Ta có OI = R và OK = R.
- Ta có MI = (AB + CD)/2 - AB/2 = CD/2 và MK = (AB + CD)/2 - CD/2 = AB/2.
- Ta có MI^2 + MK^2 = (CD/2)^2 + (AB/2)^2 = (AB^2 + CD^2)/4.
- Ta có OI^2 + OK^2 = R^2 + R^2 = 2R^2.
- Ta có OH^2 = a^2.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OHI, ta có OI^2 + OH^2 = HI^2.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OHK, ta có OK^2 + OH^2 = HK^2.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMI, ta có OI^2 + OM^2 = MI^2.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OHM, ta có OH^2 + OM^2 = HM^2.
- Từ các phương trình trên, ta có:
+ HI^2 = OI^2 + OH^2 = R^2 + a^2.
+ HK^2 = OK^2 + OH^2 = R^2 + a^2.
+ MI^2 = OI^2 + OM^2 = R^2 + (AB + CD)^2/4.
+ HM^2 = OH^2 + OM^2 = a^2 + (AB + CD)^2/4.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác HIM, ta có HI^2 + MI^2 = HM^2.
- Thay các giá trị đã tính được vào phương trình trên, ta có:
+ R^2 + a^2 + R^2 + (AB + CD)^2/4 = a^2 + (AB + CD)^2/4.
+ 2R^2 + (AB + CD)^2/4 = (AB + CD)^2/4.
+ 2R^2 = 0.
- Vậy ta có AB^2 + CD^2 = 4 . (2R^2 - a^2).