Cho tam giác abc có đường cao AH vẽ hm vuông ab tại m, HN vuông ac tại n chứng minh

Để chứng minh các phương trình trên, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và các định lí về tỷ lệ đồng dạng của tam giác.

a) Ta có tam giác vuông AHM và tam giác vuông AHN có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AM/AH = AH/AN
Suy ra, AM.AN = AH^2

Tương tự, ta có tam giác vuông AHN và tam giác vuông AHC có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AN/AH = AH/AC
Suy ra, AN.AC = AH^2

Từ hai tỷ lệ trên, ta có:
AM.AN = AN.AC
Suy ra, AM = AC

Vậy, ta có ab^2/ac^2 = AM^2/AC^2 = 1.

b) Ta có tam giác vuông AHM và tam giác vuông AHN có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AM/AH = AH/AN
Suy ra, AM.AN = AH^2

Tương tự, ta có tam giác vuông AHN và tam giác vuông AHC có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AN/AH = AH/AC
Suy ra, AN.AC = AH^2

Từ hai tỷ lệ trên, ta có:
AM.AN = AN.AC
Suy ra, AM = AC

Vậy, ta có AM.AB = AN.AC
Suy ra, AM.AB/AC = AN
Suy ra, AB/AC = AN/AM

Do đó, ta có AM.AB = AN.AC

c) Ta có tam giác vuông AHM và tam giác vuông AHN có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AM/AH = AH/AN
Suy ra, AM.AN = AH^2

Tương tự, ta có tam giác vuông AHN và tam giác vuông AHC có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AN/AH = AH/AC
Suy ra, AN.AC = AH^2

Từ hai tỷ lệ trên, ta có:
AM.AN = AN.AC
Suy ra, AM = AC

Vậy, ta có AH^2 = AM^2 + HM^2 và AH^2 = AN^2 + HN^2

Từ đó, ta có AM^2 + HM^2 = AN^2 + HN^2
Suy ra, HM^2 - HN^2 = AN^2 - AM^2
Suy ra, HM^2 - HN^2 = (AN + AM)(AN - AM)
Suy ra, HM^2 - HN^2 = (AN + AM)AC

Vì AM = AC, nên ta có HM^2 - HN^2 = 2AM.AC
Suy ra, HM^2 - HN^2 = 2AM.AC = 2AB

Vậy, ta có HM^2 - HN^2 = 2AB

d) Ta có tam giác vuông AHM và tam giác vuông AHN có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AM/AH = AH/AN
Suy ra, AM.AN = AH^2

Tương tự, ta có tam giác vuông AHN và tam giác vuông AHC có cạnh huyền là AH chung. Do đó, ta có tỷ lệ đồng dạng sau:
AN/AH = AH/AC
Suy ra, AN.AC = AH^2

Từ hai tỷ lệ trên, ta có:
AM.AN = AN.AC
Suy ra, AM = AC

Vậy, ta có AM.AB = AN.AC
Suy ra, AM.AB/AC = AN
Suy ra, AB/AC = AN/AM

Do đó, ta có AM.AB = AN.AC

Từ đó, ta có AM.AB.AC = AN.AC.AM
Suy ra, AM.AB.AC = AN.AH^2
Suy ra, AM.AB.AC = AH^3

Vậy, ta có AH^3 = AM.AB.AC
Suy ra, AH^3 = bc.bm.cn

Vậy, các phương trình đã được chứng minh.