Để chứng minh các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng các định lí về hình vuông và tam giác đồng dạng.

a) Ta có AM = BN = CP = DQ (theo định lí hình vuông). Vì MB = NC = PD = QA (theo định lí hình vuông), nên ta có AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

b) Ta cần chứng minh tam giác QAM đồng dạng với tam giác NCP. Ta có:

- Góc QAM = Góc NCP (vì AM = BN và tam giác QAM = tam giác NCP).
- Góc AMQ = Góc CNP (vì AM = BN và tam giác QAM = tam giác NCP).
- Vì AM = BN = CP = DQ, nên tam giác AMQ đồng dạng với tam giác CNP (theo định lí tam giác đồng dạng).

Do đó, tam giác QAM đồng dạng với tam giác NCP.

c) Ta cần chứng minh MNPQ là hình vuông. Ta có:

- Góc QAM = Góc NCP (đã chứng minh ở b).
- Góc AMQ = Góc CNP (đã chứng minh ở b).
- Vì AM = BN = CP = DQ, nên tam giác AMQ đồng dạng với tam giác CNP (theo định lí tam giác đồng dạng).
- Vì AM = BN = CP = DQ, nên tam giác AMQ cân tại M (theo định lí tam giác cân).
- Vì AM = BN = CP = DQ, nên tam giác CNP cân tại N (theo định lí tam giác cân).
- Vì tam giác AMQ đồng dạng với tam giác CNP và cân tại M và N, nên ta có MQ = NP (theo định lí tam giác đồng dạng và tam giác cân).
- Vì MQ = NP và AM = BN = CP = DQ, nên ta có MNPQ là hình vuông (theo định lí hình vuông).

Vậy, ta đã chứng minh được các điều kiện đã cho.