Để chứng minh từ giác AHCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh của nó là song song với các cạnh của tam giác ABC và độ dài các cạnh đối diện của nó bằng nhau.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng AH và BD.

Ta có:
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại H.
- Vì i là trung điểm của AC, nên i cũng là trung điểm của HD.
- Vì D là điểm đối xứng của H qua i, nên HD = 2iD.

Do đó, ta có:
- AD = AH + HD = AH + 2iD = AH + 2i(iD) = AH + 2i(iH) = AH + 2i^2H = AH + 2H = 3H.
- CD = CH + HD = CH + 2iD = CH + 2i(iD) = CH + 2i(iH) = CH + 2i^2H = CH + 2H = 3H.

Vậy AD = CD = 3H.

Ta cũng có:
- AE = AH + HE = AH + HD = 3H.
- CE = CH + HE = CH + HD = 3H.

Vậy AE = CE = 3H.

Từ đó, ta suy ra AE = CE = AD = CD = 3H.

Vì các cạnh đối diện của hình chữ nhật bằng nhau và song song với các cạnh của tam giác ABC, nên ta có thể kết luận rằng từ giác AHCD là hình chữ nhật.