Để chứng minh a) Tam giác ADM = Tam giác CBN, ta sẽ sử dụng định lí Thales.

Vì K là trung điểm của AB nên AK = KB. Tương tự, vì I là trung điểm của CD nên CI = ID.

Ta có:
AK = KB
CI = ID

Vì M là giao điểm của AI và CK nên ta có:
AM/MI = AK/KC (định lí Thales)
CM/MI = CI/IK (định lí Thales)

Từ đó suy ra:
AM/MI = AK/KC = 1 (vì AK = KC)
CM/MI = CI/IK = 1 (vì CI = IK)

Do đó, ta có:
AM = MI
CM = MI

Vậy ta có:
AM = MI = CM

Từ đó suy ra:
Tam giác ADM = Tam giác CBN (theo định lí cạnh - cạnh - cạnh)

Để chứng minh b) góc MAC = góc NCA và IM song song CN, ta sẽ sử dụng định lí Euclid.

Vì K là trung điểm của AB nên ta có:
AK = KB

Vì I là trung điểm của CD nên ta có:
CI = ID

Vì M là giao điểm của AI và CK nên ta có:
AM/MI = AK/KC (định lí Thales)
CM/MI = CI/IK (định lí Thales)

Từ đó suy ra:
AM/MI = AK/KC = 1 (vì AK = KC)
CM/MI = CI/IK = 1 (vì CI = IK)

Do đó, ta có:
AM = MI
CM = MI

Vậy ta có:
AM = MI = CM

Vì AK = KB và CI = ID, ta có:
AK/KB = CI/ID

Từ đó suy ra:
AK/KB = CI/ID = AM/CM (vì AM = MI = CM)

Do đó, ta có:
góc MAC = góc NCA (theo định lí Euclid)

Vì AM = MI = CM, ta có:
IM song song CN (theo định lí Euclid)

Vậy ta đã chứng minh được b) góc MAC = góc NCA và IM song song CN.