Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Đặt P(n) là mệnh đề "Đối với a1, a2, ..., an > 0 và a1a2...an = 1, ta có (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2^n".

Bước cơ sở:
Với n = 1, ta có a1 > 0 và a1 = 1. Khi đó, (1 + a1) = (1 + 1) = 2 ≥ 2^1. Vậy P(1) đúng.

Bước giả sử:
Giả sử P(k) đúng với k là một số nguyên dương bất kỳ, tức là với a1, a2, ..., ak > 0 và a1a2...ak = 1, ta có (1 + a1)(1 + a2)...(1 + ak) ≥ 2^k.

Bước nhận định:
Chứng minh P(k + 1) đúng, tức là với a1, a2, ..., ak+1 > 0 và a1a2...ak+1 = 1, ta có (1 + a1)(1 + a2)...(1 + ak+1) ≥ 2^(k + 1).

Ta có:
(1 + a1)(1 + a2)...(1 + ak+1) = [(1 + a1)(1 + a2)...(1 + ak)](1 + ak+1)

Áp dụng giả sử, ta có:
[(1 + a1)(1 + a2)...(1 + ak)](1 + ak+1) ≥ 2^k(1 + ak+1)

Ta chỉ cần chứng minh 2^k(1 + ak+1) ≥ 2^(k + 1), tức là 2^k + 2^kak+1 ≥ 2^(k + 1).

Điều này tương đương với 2^kak+1 ≥ 2^k.

Vì a1a2...ak+1 = 1, nên a1a2...akak+1 = 1.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
ak + ak+1 ≥ 2√(akak+1) = 2√(1) = 2.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 2^k, ta có:
2^kak + 2^kak+1 ≥ 2^(k + 1).

Vậy ta đã chứng minh được P(k + 1) đúng.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp, ta có P(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

Vậy ta đã chứng minh được (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2^n đối với a1, a2, ..., an > 0 và a1a2...an = 1.