a) Ta có AM = MB (do M là trung điểm của AB) và AH ⊥ BC (do AH là đường cao của tam giác ABC). Vì vậy, tam giác AMH và tam giác BMH là tam giác vuông cân. Do đó, ta có:
∠AMH = ∠BMH = 90°
Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên ta có:
∠EMH = ∠AMH = 90°
Vậy ta có tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

b) Ta đã chứng minh được AHBE là hình chữ nhật. Vì vậy, ta có:
∠AHE = ∠AHB = 90°
Và ta cũng có:
∠ACH = ∠ACB = 90°
Vậy ta có tứ giác ACHE là hình bình hành.

c) Gọi N là trung điểm của AC. Ta có AN = NC (do N là trung điểm của AC). Vì vậy, ta có:
∠ANH = ∠CNH (do AH ⊥ BC và CH ⊥ AB)
Và ta cũng có:
∠AHM = ∠CNM (do AH ⊥ BC và CM ⊥ AB)
Vậy ta có tứ giác AHMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn ngoại tiếp.

d) Ta có tứ giác AHBE là hình chữ nhật, nên AH || BE. Vì vậy, ta có:
∠HAK = ∠BEK (do AH ⊥ BC và CE ⊥ AB)
Và ta cũng có:
∠AKH = ∠EKB (do AH ⊥ BC và CE ⊥ AB)
Vậy ta có tứ giác AKBE là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn ngoại tiếp.
Do đó, ta có:
AB = AK + KB
= AK + KE (vì AKBE là tứ giác nội tiếp)
= AK + AH (vì AH || BE)
= 3AK (vì AH = 2AK)
Vậy ta có AB = 3AK.