Cho abc là các số thực dương thỏa mãn a+b=3x(1-c)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = abc(a^2 + b^2 + 9c^2), ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange để tìm điểm cực trị của hàm số.

Đặt hàm Lagrange:
L(a, b, c, λ) = abc(a^2 + b^2 + 9c^2) + λ(a + b - 3x(1 - c))

Điều kiện cần của điểm cực trị là:
∂L/∂a = 0
∂L/∂b = 0
∂L/∂c = 0
∂L/∂λ = 0

∂L/∂a = bc(a^2 + b^2 + 9c^2) + 2abc + λ = 0
∂L/∂b = ac(a^2 + b^2 + 9c^2) + 2abc + λ = 0
∂L/∂c = ab(a^2 + b^2 + 9c^2) + 18abc - 3xλ = 0
∂L/∂λ = a + b - 3x(1 - c) = 0

Giải hệ phương trình này, ta có:
a = b = c = x(1 - c)

Thay vào biểu thức P, ta có:
P = abc(a^2 + b^2 + 9c^2) = (x(1 - c))^3((x(1 - c))^2 + (x(1 - c))^2 + 9c^2) = (x(1 - c))^3(2(x(1 - c))^2 + 9c^2)
= 2x^3(1 - c)^5 + 9x^3c^3

Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số P(c) = 2x^3(1 - c)^5 + 9x^3c^3 trên đoạn [0, 1].

Đạo hàm của P(c) theo c:
P'(c) = -10x^3(1 - c)^4 + 27x^3c^2

Điều kiện cần để P(c) đạt cực trị là P'(c) = 0:
-10x^3(1 - c)^4 + 27x^3c^2 = 0
10(1 - c)^4 = 27c^2
(1 - c)^4 = 2.7c^2
(1 - c)^2 = √(2.7)c
1 - c = ±√(√(2.7)c)
1 - c = ±√(√(2.7))c
1 = c(1 ± √(√(2.7)))

Ta chọn c = 1 - √(√(2.7)) để P(c) đạt giá trị lớn nhất.

Thay c = 1 - √(√(2.7)) vào P(c), ta có:
P = 2x^3(1 - (1 - √(√(2.7))))^5 + 9x^3(1 - √(√(2.7)))^3
= 2x^3(√(√(2.7)))^5 + 9x^3(1 - √(√(2.7)))^3

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = abc(a^2 + b^2 + 9c^2) là 2x^3(√(√(2.7)))^5 + 9x^3(1 - √(√(2.7)))^3.