Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác và đường tròn.

1. Ta có:
- Góc ADB = 90 độ (vì đường tròn đường kính AB cắt cạnh AC tại điểm D)
- Góc AEB = 90 độ (vì đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại điểm E)
- Góc ADB + Góc AEB = 180 độ (vì tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180 độ)
=> Góc ADB + Góc AEB = 180 độ
=> Các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn.

2. Ta có:
- Góc ADB = 90 độ (vì đường tròn đường kính AB cắt cạnh AC tại điểm D)
- Góc AHB = 90 độ (vì AHB là góc nội tiếp của tam giác AHE)
=> Góc ADB = Góc AHB
=> CH vuông góc với AB.

3. Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AB.
- Ta có AM = MB (vì M là trung điểm của AB)
- Gọi x là độ dài AH và y là độ dài BH.
- Ta có AE = AM + ME (vì AE là tổng độ dài AM và ME)
=> AE = AM + ME = AM + MD (vì M là trung điểm của AB và D là điểm trên đường tròn đường kính AB)
=> AE = AM + MD = AM + MB (vì M là trung điểm của AB và D là điểm trên đường tròn đường kính AB)
=> AE = 2AM (vì AM = MB)
- Tương tự, ta có BD = 2BM
- Ta có: AH*AE + BH*BD = x*2AM + y*2BM = 2(x*AM + y*BM) = 2(AM*MB) (vì AM = MB)
=> AH*AE + BH*BD = 2(AM*MB) = 2(AB^2/4) (vì M là trung điểm của AB)
=> AH*AE + BH*BD = AB^2/2
=> AH*AE + BH*BD = AB^2

Vậy, ta đã chứng minh được các phần trên.