Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=AC, M là trung điểm của BC

a) Ta có AB = AC và M là trung điểm của BC, suy ra AM là đường trung bình của tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác. Do đó, ta có AM vuông góc với BC.

Vì AM vuông góc với BC và AB = AC, nên tam giác ABM và tam giác ACM là hai tam giác cân cân tại A. Từ đó, ta có ABM = ACM.

b) Gọi D là giao điểm của đường thẳng qua C vuông góc với BC và đường thẳng AB. Ta cần chứng minh A là trung điểm của BE, tức là chứng minh AD = DC.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường thẳng AD là đường cao của tam giác. Do đó, ta có AM vuông góc với BC và AD vuông góc với AB. Vì vậy, ta có AM || CD.

Từ đó, ta có tam giác AMC và tam giác CDA là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau). Vì AM || CD, nên ta có tỉ số đồng dạng:

AM/AC = CD/AD

Vì AB = AC, nên ta có:

AM/AB = CD/AD

Vì AM = MB, nên ta có:

MB/AB = CD/AD

Vì tam giác ABM và tam giác CDA là hai tam giác đồng dạng, nên ta có:

MB/AB = AD/CD

Từ đó, ta có:

MB/AB + AB/AB = AD/CD + AB/AB

1 + 1 = AD/CD + 1

2 = AD/CD + 1

AD/CD = 1

Vậy, ta có AD = CD, tức là A là trung điểm của BE.