Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta sử dụng định lí tổng cấp số cộng:
S = a + ar + ar^2 + ... + ar^n
Trong đó, a là số hạng đầu tiên, r là công bội, n là số hạng cuối cùng.

Áp dụng vào công thức trên, ta có:
A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^12
= 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^11)
= 3(1 + 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^10))
= 3(1 + 3S)

Ta thấy 3S là một dãy cấp số cộng với a = 1, r = 3 và n = 10.
Áp dụng lại định lí tổng cấp số cộng, ta có:
3S = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^10
= (3^11 - 1)/(3 - 1)
= (177147 - 1)/2
= 88573

Vậy A = 3(1 + 3S) = 3(1 + 3(88573)) = 3(1 + 265719) = 3(265720) = 797160.

Do đó, A chia hết cho 3.

Để chứng minh rằng A chia hết cho 4, ta quan sát dãy các số hạng của A:
3, 3^2, 3^3, 3^4, ...

Ta thấy rằng từ số hạng thứ 3 trở đi, các số hạng đều chia hết cho 4.
Vì vậy, tổng của các số hạng này cũng chia hết cho 4.

Thêm vào đó, số hạng đầu tiên của A là 3, cũng chia hết cho 4.

Vậy A chia hết cho 4.

Để chứng minh rằng A chia hết cho 13, ta sử dụng định lí Fermat nhỏ:
Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.

Áp dụng vào công thức trên, ta có:
A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^12
= 3(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^11)
= 3(1 + 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^10))
= 3(1 + 3S)

Ta thấy 3S là một dãy cấp số cộng với a = 1, r = 3 và n = 10.
Áp dụng lại định lí tổng cấp số cộng, ta có:
3S = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^10
= (3^11 - 1)/(3 - 1)
= (177147 - 1)/2
= 88573

Vậy A = 3(1 + 3S) = 3(1 + 3(88573)) = 3(1 + 265719) = 3(265720) = 797160.

Áp dụng định lí Fermat nhỏ với p = 13 và a = 3, ta có:
3^(13-1) - 1 chia hết cho 13.

3^12 - 1 chia hết cho 13.

Vì A = 3^12 - 1, nên A chia hết cho 13.

Vậy A chia hết cho 3, 4 và 13.