Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác AED

a) Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ.
- Tam giác AED cũng vuông tại A nên góc EAD = 90 độ.
- Góc A của tam giác ABC và tam giác AED là góc chung.
=> Tam giác ABC ~ tam giác AED (theo góc).

b) Gọi x là độ dài AD và y là độ dài AE.
Ta có:
- Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: AH là đường cao nên diện tích tam giác ABC là S1 = 1/2 * AB * AH = 1/2 * 6 * x = 3x.
- Trong tam giác AED vuông tại A, ta có: AH là đường cao nên diện tích tam giác AED là S2 = 1/2 * AE * AH = 1/2 * y * x = 1/2 * x * y.
- Diện tích tứ giác ADHE là S = S1 + S2 = 3x + 1/2 * x * y = 3x + 1/2xy.

Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x, y) = 3x + 1/2xy.

Đạo hàm của hàm số S(x, y) theo x:
S'(x, y) = 3 + 1/2y.

Đạo hàm của hàm số S(x, y) theo y:
S'(x, y) = 1/2x.

Để tìm cực trị của hàm số S(x, y), ta giải hệ phương trình:
S'(x, y) = 0
=> 3 + 1/2y = 0
=> y = -6.

S'(x, y) = 0
=> 1/2x = 0
=> x = 0.

Vậy, điểm cực trị của hàm số S(x, y) là (0, -6).

Để xác định đó là cực trị tối đa hay tối tiểu, ta xét đạo hàm bậc 2 của hàm số S(x, y):
S''(x, y) = 0.

Đạo hàm bậc 2 của hàm số S(x, y) theo x:
S''(x, y) = 0.

Đạo hàm bậc 2 của hàm số S(x, y) theo y:
S''(x, y) = 0.

Vì S''(x, y) = 0, không xác định được đó là cực trị tối đa hay tối tiểu.

Vậy, giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE là S = 3x + 1/2xy, với x = 0 và y = -6.
=> S = 3(0) + 1/2(0)(-6) = 0.

Vậy, giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE là 0.