Hình thang ABCD (AB//CD) có AB=7cm,CD=10cm,AD=8cm và góc D=30độ

1. Ta có góc D = 30 độ và AD = DE, suy ra tam giác ADE là tam giác đều.

2. Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM = MB = 7/2 cm.
Gọi N là trung điểm của CD, ta có CN = ND = 10/2 = 5 cm.
Gọi O là giao điểm của AD và BC.
Vì AB // CD, nên tam giác ADO và BCO là hai tam giác đồng dạng.
Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:
AD/BC = AO/BO = AM/CN
8/BC = 8/5
BC = 5 cm

Gọi x là độ dài AH, ta có:
AH = x
HE = HA = x

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHC, ta có:
AC^2 = AH^2 + HC^2
(AC = AD + DC = 8 + 10 = 18 cm)
18^2 = x^2 + HC^2
HC^2 = 18^2 - x^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác HEC, ta có:
HE^2 = HC^2 + EC^2
x^2 = (18^2 - x^2) + EC^2
EC^2 = x^2 - (18^2 - x^2)
EC^2 = 2x^2 - 18^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AEC, ta có:
AE^2 = AC^2 + EC^2
(AC = 18 cm)
AE^2 = 18^2 + (2x^2 - 18^2)
AE^2 = 2x^2

Vì tam giác ADE là tam giác đều, nên AE = DE = 8 cm.
2x^2 = 8^2
2x^2 = 64
x^2 = 32
x = √32 = 4√2 cm

Vậy, AH = 4√2 cm.

Diện tích tam giác ADE:
S_ADE = (1/2) * AE * DE * sin(ADE)
= (1/2) * 8 * 8 * sin(60)
= 32√3 cm^2

Diện tích hình thang ABCD:
S_ABCD = (1/2) * (AB + CD) * HC
= (1/2) * (7 + 10) * HC
= 8.5 * HC cm^2

Để tính diện tích hình thang ABCD, ta cần tìm độ dài HC.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHC, ta có:
HC^2 = AC^2 - AH^2
HC^2 = 18^2 - (4√2)^2
HC^2 = 324 - 32
HC^2 = 292
HC = √292 = 2√73 cm

Vậy, diện tích hình thang ABCD là:
S_ABCD = 8.5 * 2√73 cm^2