Cho tam giác ABC, góc A = 90 độ, đường cao AH. 1) Kẻ Bx vuông góc AB cắt AH tại K. Chứng minh rằng: AH.AK = BH.BC. 2) kẻ KE vuông góc AC. Chứng minh rằng HE = 3/5 KC

Để chứng minh các điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học tam giác.

1) Ta có:
AH.AK = BH.BC (CMR)
=> AH/AH = BH.BC/AK (đúng vì cả hai bên đều bằng 1)
=> 1 = BH.BC/AK
=> AK = BH.BC (đpcm)

2) Ta có:
HE = 3/5 KC (CMR)
=> HE/HE = 3/5 KC/AC (đúng vì cả hai bên đều bằng 1)
=> 1 = 3/5 KC/AC
=> AC = 5/3 KC (1)
=> AC/AC = 5/3 KC/KE (đúng vì cả hai bên đều bằng 1)
=> 1 = 5/3 KC/KE
=> KE = 3/5 KC (đpcm)

3) Gọi I' là hình chiếu của I lên BC. Ta có:
AI' = r (đề bài cho)
AH = AI' + HI' (đúng vì AH là đường cao của tam giác ABC)
=> AH/AI' = AI'/AI' + HI'/AI'
=> AH/AI' = 1 + HI'/AI'
=> AH/AI' - 1 = HI'/AI'
=> (AH - AI')/AI' = HI'/AI'
=> HI'/AI' = (AH - AI')/AI' (2)

Ta có:
AI' = AI (đúng vì I' là hình chiếu của I lên BC)
=> HI'/AI' = HI/AI (đúng vì cả hai bên đều bằng 1)
=> HI'/AI' = HI/AI (3)

Từ (2) và (3), ta có:
(AH - AI')/AI' = HI/AI
=> AH/AI' - AI'/AI' = HI/AI
=> AH/AI' - 1 = HI/AI
=> AH/AI' = HI/AI + 1
=> AH/AI' = r/AI + 1 (đúng vì AI = r)
=> AH/AI' = r/AH + 1 (đúng vì AI' = AH)
=> AH/AI' - r/AH = 1
=> (AH^2 - r)/AH = 1
=> AH^2 - r = AH
=> AH^2 - AH = r
=> AH(AH - 1) = r

Vì AH > 1 (vì A = 90 độ), nên AH - 1 > 0
=> AH(AH - 1) > 0
=> r > 0

Vậy, r/AH >= 1/3 (đpcm)