a) Để giải phương trình bậc 2 x^2 + x + 1 > 0, ta sử dụng phương pháp định dạng dấu.

Đặt f(x) = x^2 + x + 1
Để tìm điều kiện để f(x) > 0, ta xét dấu của f(x).

Ta có:
f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 > 0
f(0) = (0)^2 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 > 0
f(1) = (1)^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 > 0

Vậy, phương trình x^2 + x + 1 > 0 đúng với mọi giá trị của x.

b) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 4y + 2025, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối lượng.

Nhận thấy B có dạng tổng các hạng tử có chứa x và y. Ta có thể nhóm các hạng tử chứa x và y lại để thu được một biểu thức có dạng (x + y + a)^2 + b, với a và b là các hằng số cần tìm.

Ta có:
B = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x + 4y + 2025
= (x^2 + 2xy + x) + (2y^2 + 4y + 2025)
= (x^2 + 2xy + x + y^2 + 2y + 2025) + (y^2 + 2y)

Để hoàn thành khối lượng, ta cần tìm a và b sao cho:
x^2 + 2xy + x + y^2 + 2y + 2025 = (x + y + a)^2 + b
y^2 + 2y = b

So sánh các hạng tử tương ứng, ta có:
2xy = 2a(x + y)
x + y + a = 1
a = 1 - (x + y)

Thay a vào biểu thức b, ta có:
y^2 + 2y = b
y^2 + 2y = 1 - (x + y)
y^2 + 2y + x + y - 1 = 0
y^2 + 3y + x - 1 = 0

Đây là một phương trình bậc 2 với biến y. Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của y. Điều này xảy ra khi đạo hàm của phương trình bậc 2 này bằng 0.

Đạo hàm của phương trình trên theo y:
2y + 3 = 0
y = -3/2

Thay y = -3/2 vào phương trình ban đầu, ta có:
x^2 + 2(-3/2)^2 + 2x(-3/2) + 2x + 4(-3/2) + 2025 = 0
x^2 + 9/2 + (-3x) + 2x + (-6) + 2025 = 0
x^2 - x + 2019/2 = 0

Đây là một phương trình bậc 2 với biến x. Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x. Điều này xảy ra khi đạo hàm của phương trình bậc 2 này bằng 0.

Đạo hàm của phương trình trên theo x:
2x - 1 = 0
x = 1/2

Thay x = 1/2 và y = -3/2 vào biểu thức ban đầu, ta có:
B = (1/2)^2 + 2(-3/2)^2 + 2(1/2)(-3/2) + 2(1/2) + 4(-3/2) + 2025
= 1/4 + 18/4 - 6/4 + 1 + (-6) + 2025
= 19/4 + 2019/4 + 2019
= 2019 + 2019/4 + 19/4
= 2019 + 2038/4
= 2019 + 509.5
= 2528.5

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2528.5.