Cho ∆ABC nhọn, đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại F

a) Ta có:
∠BFC = ∠BFO + ∠OFC (góc nội tiếp cùng cung)
= ∠BEO + ∠OEC (góc nội tiếp cùng cung)
= ∠BEC (cùng góc)
= 90° (do ∆ABC là tam giác nhọn)
Vậy ∆BFC vuông tại F.

Ta cần chứng minh BE là đường cao của ∆ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: ∠BMC = 90° (do BM = MC)
Vì BF là đường tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ∠BFO = 90°.
Tương tự, vì CE là đường tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ∠CEO = 90°.
Do đó, ∠BEO = ∠BFO + ∠OEC = 90° + 90° = 180°.
Vậy B, E, O, M thẳng hàng.
Suy ra, BE là đường cao của ∆ABC.

b) Ta cần chứng minh AH vuông góc BC tại D.
Gọi D là giao điểm của AH và BC.
Ta có: ∠BHC = 180° - ∠BFC (cung cấp bởi đường tròn ngoại tiếp ∆BFC)
= 180° - 90° (vì ∆BFC vuông tại F)
= 90°.
Vậy ∠BHC = 90°.
Do đó, AH vuông góc BC tại D.