a) Ta có:
- Vì M là trung điểm của AB nên MP song song với BC.
- Vì M là trung điểm của AB nên MN song song với AC.
Vậy tứ giác MNCP là hình bình hành.
- Vì M là trung điểm của AB nên BM = MA.
- Vì MN song song với AC nên MN = AC.
Vậy tứ giác BMPN là hình bình hành.

b) Ta có:
- Vì tứ giác MNCP là hình bình hành nên MN = CP.
- Vì tứ giác BMPN là hình bình hành nên BM = PN.
- Vì MN song song với AC nên góc MIN = góc MAC.
- Vì MP song song với BC nên góc MPN = góc BAC.
- Vì tứ giác BMPN là hình bình hành nên góc BPN = góc BAC.
Vậy tứ giác MINP và BPNP là tứ giác cùng dạng.
Do đó, ta có:
$\frac{IQ}{MP} = \frac{IN}{MN} = \frac{PN}{BM} = \frac{1}{2}$.
Vậy IQ = 1/2 MP.

c) Để tứ giác BMPN là hình chữ nhật, ta cần và đủ có các điều kiện sau:
- MN = BP (tứ giác BMPN là hình bình hành).
- BM = PN (tứ giác BMPN là hình bình hành).
- Góc BPN = 90° (tứ giác BMPN là hình chữ nhật).
- Góc BNP = 90° (tứ giác BMPN là hình chữ nhật).
Vậy tam giác ABC cần có các điều kiện sau:
- MN = BP.
- BM = PN.
- Góc BPN = 90°.
- Góc BNP = 90°.