Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x^2+y^2+2xy+2x-2y+2024

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2024,
\]

ta sẽ bắt đầu bằng cách nhóm lại các số hạng theo cách thuận tiện hơn. Ta có thể nhóm các số hạng liên quan đến \(x\) và \(y\) lại với nhau:

\[
A = (2x^2 + 2xy + y^2) + 2x - 2y + 2024.
\]

Biểu thức \(2x^2 + 2xy + y^2\) có thể được viết lại như sau:

\[
2x^2 + 2xy + y^2 = (2x^2 + 2xy + y^2) = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}.
\]

Tuy nhiên, để tính giá trị nhỏ nhất, ta có thể sử dụng đạo hàm. Ta sẽ xét từng biến để tối thiểu hóa biểu thức.

Đầu tiên, ta sẽ xét đạo hàm riêng theo \(x\) và \(y\).

1. Tính đạo hàm riêng theo \(x\):
\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 4x + 2y + 2.
\]

2. Tính đạo hàm riêng theo \(y\):
\[
\frac{\partial A}{\partial y} = 2y + 2x - 2.
\]

Bây giờ, ta giải hệ phương trình:

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + 2y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y = -4x - 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x - 1.
\]

\[
\frac{\partial A}{\partial y} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y + 2x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y = -2x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 1.
\]

Giải hệ phương trình từ hai phương trình trên:

Thay \(y = -x + 1\) vào phương trình \(y = -2x - 1\):

\[
-x + 1 = -2x - 1,
\]
\[
-x + 2x = -1 - 1,
\]
\[
x = -2.
\]

Thay \(x = -2\) vào \(y = -x + 1\):
\[
y = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3.
\]

Vậy \(x = -2\) và \(y = 3\). Giờ ta sẽ thay các giá trị này vào biểu thức \(A\):

\[
A = 2(-2)^2 + 3^2 + 2(-2)(3) + 2(-2) - 2(3) + 2024.
\]
\[
= 2 \cdot 4 + 9 - 12 - 4 - 6 + 2024.
\]
\[
= 8 + 9 - 12 - 4 - 6 + 2024.
\]
\[
= -5 + 2024 = 2019.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là:

\[
\boxed{2019}.
\]