a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có:
AC = √(BC^2 + AB^2) (theo định lý Pythagoras)
AC = √(10^2 + AI^2) (vì AB = AI)
AC = √(100 + AI^2)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AI^2 + IC^2 = AC^2 (theo định lý Pythagoras)
AI^2 + 6.4^2 = AC^2
AI^2 + 40.96 = AC^2

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
AC = √(100 + AI^2)
AC = √(AI^2 + 40.96)

Giải hệ phương trình trên, ta có:
√(100 + AI^2) = √(AI^2 + 40.96)
100 + AI^2 = AI^2 + 40.96
100 = 40.96
AI^2 = 100 - 40.96
AI^2 = 59.04
AI = √59.04
AI ≈ 7.68 cm

Vậy AC ≈ √(100 + 7.68^2) ≈ √(100 + 59.04) ≈ √159.04 ≈ 12.61 cm

b) Ta biết trung điểm E của cạnh AC, kẻ đường vuông góc với BC tại F. Khi đó, EF là đường cao của tam giác ABC. Diện tích tứ giác ABFE bằng diện tích tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC = (1/2) * AC * BC
Diện tích tam giác ABC = (1/2) * 12.61 * 10
Diện tích tam giác ABC ≈ 63.05 cm^2

Vậy diện tích tứ giác ABFE ≈ 63.05 cm^2.

c) Ta biết AF và BE cắt nhau tại O. Kẻ Ah vuông góc với BE và FK vuông góc với BE. Gọi góc AOB là α.

Vì Ah vuông góc với BE, nên góc AOB bằng góc AOh.

Vì FK vuông góc với BE, nên góc AOh bằng góc AOF.

Vậy góc AOB bằng góc AOF.

Do đó, ta cần tính sin góc AOF.

Trong tam giác AOF, ta có:
sin AOF = AF / AO (theo công thức sin)

Vì ta không biết giá trị cụ thể của AF và AO, nên không thể tính được sin góc AOF.

Do đó, không thể tính được sin góc AOB.