Cho tam giác ABC nhọn

a) Ta có:
- Tia Ax vuông góc với AC nên Ax là đường cao của tam giác ABC.
- Tia By//AC nên tam giác ABC và tam giác ABY có các cặp góc tương đồng.
- Vì I là trung điểm của AB nên MI là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó, theo định lí đường trung bình trong tam giác, ta có: MI // BC.
- Gọi P là giao điểm của MI và BC. Ta có MP = PI (do I là trung điểm của AB).
- Vì Ax vuông góc với AC nên Ax cắt BC tại H sao cho AH là đường cao của tam giác ABC.
- Vì By//AC nên By cắt BC tại G sao cho BG = GC.
Khi đó, ta có:
- Tam giác ABC và tam giác ABY có các cặp góc tương đồng nên tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, M; B, N) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, P; B, H) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, G; B, C) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, I; B, P) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, X; B, H) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, X; B, G) = -1.
Từ đó, suy ra A, M, B, N cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- Gọi O là giao điểm của BN và AH.
- Gọi K là giao điểm của CO và AB.
- Vì Ax vuông góc với AC nên Ax cắt BC tại H sao cho AH là đường cao của tam giác ABC.
- Vì By//AC nên By cắt BC tại G sao cho BG = GC.
Khi đó, ta có:
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, G; B, C) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, P; B, H) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, X; B, H) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, X; B, G) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, M; B, N) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, I; B, P) = -1.
- Tứ giác ABYC là tứ giác điều hòa nên (A, K; B, O) = -1.
Từ đó, suy ra B, C, N, K cùng thuộc một đường tròn.