Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H tới AB và AC

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình bình hành.

1. Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Khi đó, ta có tính chất của tam giác vuông là AH là đường cao, nên AH vuông góc với AB và AH vuông góc với AC. Khi kẻ đường vuông góc từ H tới AB và AC, ta được hai đoạn thẳng EF và AH. Ta cần chứng minh AH = EF.

Gọi G là giao điểm của EF và AC. Ta có tam giác vuông AHG và tam giác vuông AEF có cùng góc vuông tại A. Khi đó, ta có:

∠AHG = ∠AEF (cùng góc vuông)
∠HAG = ∠EAF (cùng góc vuông)
∠AGH = ∠AFE (cùng góc vuông)

Do đó, tam giác AHG và tam giác AEF có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo góc. Vì vậy, ta có:

AH/AG = AE/AF

Nhưng ta cũng có:

AH/AG = AH/AC (vì AG = AC)

Vậy, ta có:

AH/AC = AE/AF

Từ đó, suy ra:

AH = EF

2. Ta đã chứng minh được AH = EF. Khi đó, ta có tứ giác AMEF là hình bình hành.

Vì E là trung điểm của MH, nên ta có:

ME = EH

Vì AMEF là hình bình hành, nên ta cũng có:

ME = AF

Do đó, ta có:

EH = AF

Từ đó, suy ra:

ME = EH = AF

Vậy, E là trung điểm của MH.

3. Gọi D là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh AD vuông góc với EF.

Vì AD là đường trung bình của tam giác ABC, nên ta có:

AD = (AB + AC)/2

Vì ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có:

AB = AC

Do đó, ta có:

AD = AB = AC

Như vậy, ta có:

AD = AC

Vì AH = EF (đã chứng minh ở câu 1), nên ta cũng có:

AD = AH

Vậy, ta có:

AD = AH = EF

Do đó, ta có AD vuông góc với EF.