a) Ta có:
$\angle BAC = \angle BIC$ (do $ABC$ và $IBC$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\angle BCA = \angle BIA$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIC + \angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIA + \angle BIA$ (do $\angle BIC = \angle BIA$)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BAC$
$\Rightarrow \angle BCA = \angle BAC$
Vậy tam giác $ABD$ cân.

b) Ta có:
$\angle BAC = \angle BIC$ (do $ABC$ và $IBC$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\angle BCA = \angle BIA$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIC + \angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIA + \angle BIA$ (do $\angle BIC = \angle BIA$)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BAC$
$\Rightarrow \angle BCA = \angle BAC$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BAC$ (do $ABCD$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BCA$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BAC$
Vậy $DK$ vuông góc với $AB$.

c) Ta có:
$\angle BAC = \angle BIC$ (do $ABC$ và $IBC$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\angle BCA = \angle BIA$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIC + \angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIA + \angle BIA$ (do $\angle BIC = \angle BIA$)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BAC$
$\Rightarrow \angle BCA = \angle BAC$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BAC$ (do $ABCD$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BCA$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BAC$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BIA$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BIE$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BIE = \angle BKE$ (do $ABEK$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE = \angle BAE$ (do $ABEK$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE = \angle BAE = \angle BDE$ (do $ABED$ là tứ giác nội tiếp)
Vậy tứ giác $AEDK$ là hình bình hành.

d) Ta có:
$\angle BAC = \angle BIC$ (do $ABC$ và $IBC$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\angle BCA = \angle BIA$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIC + \angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BIA + \angle BIA$ (do $\angle BIC = \angle BIA$)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BIA$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 2\angle BAC$
$\Rightarrow \angle BCA = \angle BAC$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BAC$ (do $ABCD$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BCA$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BAC$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BIA$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BIE$ (do $ABC$ và $AIB$ cùng nằm trên cùng một tia phân giác)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BIE = \angle BKE$ (do $ABEK$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE$
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE = \angle BAE$ (do $ABEK$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE = \angle BAE = \angle BDE$ (do $ABED$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \angle BDA = \angle BKE = \angle BAE = \angle BDE = 90^\circ$ (do $ABED$ là tứ giác nội tiếp)
Vậy $EA$ là tiếp tuyến của $(O)$.