Để tính độ dài của vector AG - 2GH + 3AH, ta cần biết độ dài của vector AG, GH và AH.

Với tam giác đều ABC, ta có:
- Đường cao AH cắt cạnh BC tại H và chia cạnh BC thành 2 đoạn bằng nhau.
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AH = BC/2 = a/2.
- Đường cao AH cũng là đường phân giác của góc A, nên góc HAB = góc HAC = 30 độ.

Vậy ta có:
- AG = AH + GH = a/2 + a/2 = a.
- GH = AH * tan(góc HAG) = (a/2) * tan(30 độ) = (a/2) * (√3/3) = a√3/6.

Vậy độ dài của vector AG - 2GH + 3AH là:
AG - 2GH + 3AH = a - 2(a√3/6) + 3(a/2) = a - a√3/3 + 3a/2 = (6a - 2a√3 + 9a)/6 = (15a - 2a√3)/6 = (5a - 2a√3)/2.

Vậy độ dài của vector AG - 2GH + 3AH là (5a - 2a√3)/2.