Để chứng minh giá trị của đa thức không phụ thuộc vào giá trị của biến, ta cần chứng minh rằng đa thức không thay đổi khi giá trị của biến thay đổi.

Để làm điều này, ta sẽ chứng minh từng thành phần của đa thức một cách riêng lẻ.

Đầu tiên, ta xét đa thức (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2). Để chứng minh rằng nó không phụ thuộc vào giá trị của biến, ta sẽ chứng minh rằng nó không thay đổi khi giá trị của biến thay đổi.

Đa thức (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) có thể được biểu diễn dưới dạng:

8x^3 + 4x^2y + 2xy^2 - 4x^2y - 2xy^2 - y^3

Các thành phần của đa thức này không phụ thuộc vào giá trị của biến, vì vậy đa thức không thay đổi khi giá trị của biến thay đổi.

Tiếp theo, ta xét đa thức -2x(2x - y)(2x + y). Ta sẽ chứng minh rằng nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Đa thức -2x(2x - y)(2x + y) có thể được biểu diễn dưới dạng:

-4x^3 + 2x^2y + 2xy^2

Các thành phần của đa thức này không phụ thuộc vào giá trị của biến, vì vậy đa thức không thay đổi khi giá trị của biến thay đổi.

Tiếp theo, ta xét đa thức y(y^2 - 2xy). Ta sẽ chứng minh rằng nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Đa thức y(y^2 - 2xy) có thể được biểu diễn dưới dạng:

y^3 - 2xy^2

Các thành phần của đa thức này không phụ thuộc vào giá trị của biến, vì vậy đa thức không thay đổi khi giá trị của biến thay đổi.

Cuối cùng, ta xét đa thức (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2). Ta sẽ chứng minh rằng nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Đa thức (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) có thể được biểu diễn dưới dạng:

x^3 + 3xy^2 - 3x^2y - 9y^3

Các thành phần của đa thức này không phụ thuộc vào giá trị của biến, vì vậy đa thức không thay đổi khi giá trị của biến thay đổi.

Tổng hợp lại, từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng giá trị của đa thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.