Chứng minh OA vuông góc BC tại H

a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc AOB và góc AOC là góc vuông. Do đó, OA vuông góc BC tại H.
Vì A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn (O), nên góc AOB và góc ACB cùng nằm trên cùng một cung. Do đó, góc AOB = góc ACB. Tương tự, góc AOC = góc ABC.
Vậy ta có: góc AOB = góc ACB = góc ABC = góc BOC = 90 độ.
Do đó, OA vuông góc BC tại H và 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có góc AOB = góc ACB = góc ABC = góc BOC = 90 độ (vì A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn).
Vì CD là đường kính của đường tròn (O), nên góc BCD = 90 độ.
Do đó, góc BCD + góc BCO = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
Vậy ta có CD // OA.
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có AM // CD (do M là trung điểm của CD) và AM = 1/2 CD.
Vì AD cắt (O) tại E, nên góc AEO = góc ADO = 90 độ.
Do đó, góc AEM = góc AED = 90 độ.
Vậy ta có AE // DM và AE = 1/2 DM.
Vì I là trung điểm của AH, nên AI = IH.
Vì AI // DM và AI = 1/2 DM, nên AI = IH = 1/2 DM.
Vậy ta có AH = 1/2 DM.
Từ hai điều trên, ta có AH.AO = 1/2 DM . 2 DM = DM^2 = AE.AD.

c) Gọi góc ABI = α và góc BDH = β.
Ta có góc AOB = góc ACB = góc ABC = góc BOC = 90 độ (vì A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn).
Vậy góc AOB = góc ACB = góc ABC = góc BOC = 90 độ = 2α + 2β.
Vì góc AOB = 2α + 2β, nên góc ABO = 180 độ - (2α + 2β).
Vì góc ABO = góc BCO = 90 độ, nên góc BCO = 180 độ - (2α + 2β).
Vậy góc BCO = 2α + 2β.
Vì góc BCO = 2α + 2β, nên góc BCD = 180 độ - (2α + 2β).
Vì CD // OA, nên góc BCD = góc OAH = α.
Vậy góc OAH = α.
Vì góc OAH = α, nên góc AHI = 180 độ - α.
Vì AI = IH, nên góc AHI = góc AIH = (180 độ - α)/2.
Vậy góc ABI = góc AIH = (180 độ - α)/2.
Từ đó, ta có góc ABI = (180 độ - α)/2 = góc BDH.
Vậy góc ABI = góc BDH.