Cho đường tròn (O; 5cm), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là tiếp điểm)

a) Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD // OA.

Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC.

Ta có:
- OM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên OM // BC.
- ON là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên ON // BC.
- Do đó, OM và ON là hai đường song song.

Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;5cm), nên AM ⊥ OM và AN ⊥ ON.
Vậy AM ⊥ ON và AN ⊥ OM.

Khi đó, ta có tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp.
Do đó, góc AOM = góc ANM và góc AON = góc AMN.

Vì OM // BC và ON // BC, nên góc AOM = góc AMN và góc AON = góc ANM.
Vậy tứ giác AMON là tứ giác cân.

Do đó, AM = AN và OM = ON.
Vậy tứ giác AMON là tứ giác cân vuông.

Vì AM = AN và OM = ON, nên góc AOM = góc ANM và góc AON = góc AMN.
Vậy góc AOM = góc AON.

Vậy tứ giác AOMB là tứ giác cân vuông và góc AOM = góc AON.

Vì góc AOM = góc AON, nên góc AOB = góc AOC.
Vậy tứ giác ABOC là tứ giác cân.

Vậy BD // OA.

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC, biết OA = 10cm.

Ta có:
- Góc AOB = góc AOC (tứ giác ABOC là tứ giác cân).
- Góc AOB + góc AOC = 180° (tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp).
- Góc AOB + góc AOC = 180° - góc BOC (góc nội tiếp và góc ngoại tiếp cùng nằm trên cung cùng).
- Góc AOB + góc AOC = 180° - 2góc BOC (góc nội tiếp và góc ngoại tiếp cùng nằm trên cung cùng).

Vậy góc BOC = (180° - góc AOB - góc AOC) / 2 = (180° - 2góc AOB) / 2 = 90° - góc AOB.

Vì góc BOC = 90° - góc AOB, nên góc AOB = 90° - góc BOC.

Vì góc AOB = 90° - góc BOC, nên góc AOB + góc BOC = 90°.

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

Từ tam giác vuông ABC, ta có:
- AB = AC = 5cm (tiếp tuyến từ điểm ngoài đến đường tròn).
- BC = 2AB = 2AC = 10cm (đường kính đường tròn).
- AH = AO + OH = 10cm + OH.
- BH = BC - HC = BC - OC = BC - OA = 10cm - 10cm = 0cm.
- OH = BH - BO = 0cm - 5cm = -5cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC là AB = AC = 5cm, BC = 10cm, BH = 0cm, AH = 10cm + OH, OH = -5cm.

c) Tính số đo góc A.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nên góc A = 90°.

Tam giác ABC là tam giác vuông tại B.