Để chứng minh rằng phương trình x^2 - 2(m+1)x + 2m + 1 = 0 có nghiệm với mọi m, ta sẽ sử dụng định lý về delta của phương trình bậc 2.

Theo định lý, phương trình ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi delta (Δ) của phương trình lớn hơn hoặc bằng 0, trong đó Δ = b^2 - 4ac.

Áp dụng vào phương trình x^2 - 2(m+1)x + 2m + 1 = 0, ta có a = 1, b = -2(m+1), và c = 2m + 1.

Tính delta (Δ) của phương trình:
Δ = (-2(m+1))^2 - 4(1)(2m + 1)
= 4(m+1)^2 - 8m - 4
= 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 4
= 4m^2

Vì Δ = 4m^2 >= 0 với mọi m, nên phương trình x^2 - 2(m+1)x + 2m + 1 = 0 có nghiệm với mọi m.