Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành

Để chứng minh (MNJ) || (BD), ta cần chứng minh hai điều kiện sau đây:
1. MNJ || BDC (hai đường thẳng MNJ và BDC song song)
2. MN/MJ = BD/DC (tỷ số đồng dạng)

Đầu tiên, ta chứng minh điều kiện 1:
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, AS, nên ta có:
MN = 1/2 AB
NJ = 1/2 AD
Vì AB || AD (do đáy là hình bình hành), nên ta có:
MN || NJ

Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện 2:
Vì I, J lần lượt là trung điểm của SC, SD, nên ta có:
SI = 1/2 SC
SJ = 1/2 SD
Vì SC || SD (do đáy là hình bình hành), nên ta có:
SI || SJ

Từ hai điều kiện trên, ta có:
MN || NJ và SI || SJ
Do đó, ta có (theo định lý Thales):
MN/MJ = SI/SJ

Tuy nhiên, ta cũng có:
SI = SC - CI
SJ = SD - DJ
Vì I, J lần lượt là trung điểm của SC, SD, nên ta có:
CI = 1/2 SC
DJ = 1/2 SD
Do đó:
SI = 1/2 SC
SJ = 1/2 SD

Từ đó, ta có:
MN/MJ = SI/SJ = 1/2 SC / 1/2 SD = SC/SD

Vì SC || SD (do đáy là hình bình hành), nên ta có:
SC/SD = BD/DC

Từ đó, ta có:
MN/MJ = BD/DC

Vậy, ta đã chứng minh được (MNJ) || (BD).