Trên bảng viết các số, mỗi lần cho phép xóa hai số x và y tùy ý trong các số trên

Giả sử sau mỗi phép biến đổi, ta đặt $a$, $b$, $c$, $d$ lần lượt là các số trên bảng, ta có:
\begin{align*}
a' &= \frac{3ad}{a+2d} \\
b' &= \frac{3bc}{b+2c} \\
c' &= \frac{3bc}{2b+c} \\
d' &= \frac{3ad}{2a+d}
\end{align*}
Ta sẽ chứng minh rằng sau mỗi phép biến đổi, giá trị của $a$, $b$, $c$, $d$ đều lớn hơn hoặc bằng 1.

Giả sử $a \geq 1$, $d \geq 1$. Ta có:
\begin{align*}
a' &= \frac{3ad}{a+2d} \geq \frac{3 \cdot 1 \cdot 1}{1+2 \cdot 1} = 1 \\
d' &= \frac{3ad}{2a+d} \geq \frac{3 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = 1
\end{align*}
Do đó, nếu $a \geq 1$, $d \geq 1$ thì $a' \geq 1$, $d' \geq 1$.

Giả sử $a < 1$, $d \geq 1$. Ta có:
\begin{align*}
a' &= \frac{3ad}{a+2d} < \frac{3 \cdot 1 \cdot 1}{1+2 \cdot 1} = 1 \\
d' &= \frac{3ad}{2a+d} \geq \frac{3 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = 1
\end{align*}
Do đó, nếu $a < 1$, $d \geq 1$ thì $a' < 1$, $d' \geq 1$.

Tương tự, ta có các trường hợp sau:
- Nếu $a \geq 1$, $d < 1$ thì $a' \geq 1$, $d' < 1$.
- Nếu $a < 1$, $d < 1$ thì $a' < 1$, $d' < 1$.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng sau mỗi phép biến đổi, giá trị của $a$, $b$, $c$, $d$ đều lớn hơn hoặc bằng 1.

Giả sử ban đầu, các số trên bảng lần lượt là $a_0 = 3$, $b_0 = 4$, $c_0 = 5$, $d_0 = 6$. Sau mỗi phép biến đổi, ta có các giá trị sau:
\begin{align*}
a_1 &= \frac{3a_0d_0}{a_0+2d_0} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 6}{3+2 \cdot 6} = 2 \\
b_1 &= \frac{3b_0c_0}{b_0+2c_0} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4+2 \cdot 5} = 2 \\
c_1 &= \frac{3b_0c_0}{2b_0+c_0} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 4+5} = 2 \\
d_1 &= \frac{3a_0d_0}{2a_0+d_0} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 6}{2 \cdot 3+6} = 2
\end{align*}
Ta thấy rằng sau mỗi phép biến đổi, giá trị của $a$, $b$, $c$, $d$ đều bằng 2. Vì vậy, không có thời điểm nào mà trên bảng xuất hiện một số nhỏ hơn 1.