Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Vẽ đường kính MN của đường tròn (M khác A,B). Tiếp tuyến (O;R) tại B cắt AM, AN lần lượt tại Q, P

a) Ta có:
- Góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn bằng góc nửa tròn, nên góc BAO = 90°.
- Góc tạo bởi đường kính và tiếp tuyến tại điểm chạm bằng góc vuông, nên góc BAN = 90°.
Do đó, góc BAO = góc BAN = 90°, suy ra A, O, N, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- Vì M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn, nên góc MPQ = góc MNQ = góc MON (góc ở tâm bằng góc ở ngoài cùng).
- Vì góc BAO = 90°, nên góc BAN = 90°.
- Góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn bằng góc nửa tròn, nên góc BQP = góc BAP = 90°.
- Góc tạo bởi đường kính và tiếp tuyến tại điểm chạm bằng góc vuông, nên góc BFP = 90°.
Do đó, góc MPQ = góc MNQ = góc MON = góc BQP = góc BAP = 90° và góc BFP = 90°.
- Ta có ME // NF (do cùng vuông góc với OF).
- Vì E là trung điểm BQ, nên OE // BP (do cùng vuông góc với BQ).
- Vì OE ⊥ OF tại O, nên F là trung điểm BP (do F nằm trên đường thẳng OF).
Vậy, F là trung điểm BP và ME // NF.